SILCAの空気入れがパンク？ ピストン皮パッキン

オートバイ乗りの私ですが、５年ほど前にチャリンコを買いました。ルイガノというブランドのクロスバイクです。体力維持になればと思ったのですが、長続きせず、ここ３年はマンションのベランダで眠ったままでした。
今年、大学進学予定の息子が乗りたいというので、先週の休みに久しぶりにカバーを取って磨いてやりました。

(1)手頃な値段と見た目のカッコ良さで購入
　メッキ部分が少ないせいか、3年間ほったらかしの割にはあまり劣化していませんでした。チェーンの汚れを取り給油、ホコリを取ってフレームにワックスがけ、可動部に給油して動作確認、タイヤに空気入れ、こんな感じです。
タイヤは少しヒビが入っていたので、少し様子見て交換したいと思います。

(2)SILCAの空気入れ
この自転車を購入した時に一緒に買いました。仏式バルブなんて初めてでした。
イタリアさんだけあってゲージ部がオシャレな感じですね。

(3)パンクですか？
　空気を入れると突然ポンプの抵抗が無くなりスカスカになりました。
何だろうと思ってカバーを外してピストン部をチェックしてみると、ピストンがめくれています。ピストンといっても革製なんですね。自転車乗りの皆さんには常識なのかも知れませんが、基本的に自転車は素人の私にとって、素直に驚きました。
こんなんで空気入れられるんですね。
　めくれている部分を元に戻すようにして組み直すと一瞬空気が入れられるようになるのですが、すぐに「パン」といってスカスカになってしまいます。ネットで調べると交換用の皮パッキンが売っているようです。定期的に交換しないとならないような物なんでしょうかね？　直す方法ありますか？
自転車に詳しい方のアドバイス求む。